New PDF release: Allgemeine Algebra und Anwendungen

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

ISBN-10: 3519020300

ISBN-13: 9783519020301

ISBN-10: 3663098133

ISBN-13: 9783663098133

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend conflict, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre warfare, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Verwendet man Hasse -Diagramme auch zur Illustration von "unendl ichen" Halbordnungen . Dabei zeichnet man das Diagramm einer endlichen Teilhalbordnung und deutet an, wie sich das Diagramm "ins Unendliche fortsetzt". Eine Abbildung h:H ... ~. heißt ein Ordnungshomomorphismus oder eine ord~ungstreue AbbiZdung) der Halbordnung in die Halbordnung <~*;s*>, 51 falls x~y" h(x) ~* h(y) für alle x , y E H. Ist h bijektiv und gilt zusätzlich noch, daß auch die Umkehrabbildung h- l von hein Ordnungshomomorphismus ist, dann wird hein ( Ordnung s - ) Is omorphismus genannt .

Die Relation in 2) ist nicht reflexiv, jedoch symmetrisch und transitiv. ) Die Relation in Beispiel 3) hat die Eigenschaft reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv zu sein; sie ist nicht transitiv, denn haben die Moleküle x und y ähnliche Eigenschaften und ist y ähnlich einem weiteren Molekül z, so mufl nicht notwendigerweise x ähnlich z sein. Eine Relation, die zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt eine Äqu ivalenzrelation. Hat eine Relation die drei Eigenschaften: reflexiv, anti symmetrisch und trans itiv, so wird sie als Halbordnungsrelation bezeichnet .

N} eine Menge von aktiv Wahlberecht igten. Die Präferenzen eines jeden Wahlberecht igten i EW sollen in einer Präferenzrelation ~ i in K zum Ausdruc k kommen . 3. 5 darg estellt. 3 o .... 3 wird ein Kand idat vor alle anderen gestellt. 4 entspr ic ht (bei vielen Wa hlen) e iner ung ültigen St immabgabe. 5 wurde eine Reihung vorgenommen . wobei jeweil s zwei Kandidaten auf die Pl ätze zwei und drei gesetzt wu rden. PK sei die Menge aller möglichen Präfe renzrelationen auf K. Hat jeder Stimmberechtigte (Element von M) seine Wahl getroffen.

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Allgemeine Algebra und Anwendungen by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller


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