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By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 354033937X

ISBN-13: 9783540339373

ISBN-10: 3540339760

ISBN-13: 9783540339762

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Enen-, e t en+ren pour tout k 2 1 ; soit A l'anneau quotient + 62 ALGÈBRE COMMUTATIVE chap. 1, $ 2 T/b, et pour tout entier m, soit a, l'image canonique de e , dans A . Montrer que, si M = A,/Aao, on a A(M) = n (observer que, pour m 6 n - 1, l'annulateur à gauche de a, est Aa,,i, et utiliser l'exerc. 6 6)). 8) Soient C un anneau commutatif, E , F deux C-modules. Montrer que l'on a A(E @O F) > inf (A(E), A(F)). 9) Soit E un A-module à gauche de présentation finie. , chap. , 5 3, no 7) est bijectif.

III, 3 2, exerc. 4 ) . b) Dans lc A-module A2, soit R le sous-module formé des éléments (x, - x) où x E a. Dans le A-module A2/R, soient M, N les sous-modules images des sous-modules facteurs de A2 ; montrer que M et N sont isomorphes à A, mais que M n N n'est pas un A-module plat. 4) a ) Donner un exemple de suite exacte non scindée + + O+E1+E+E"-+O dont tous les termes sont des modules plats (cf. , chap. VII, § 3, exerc. 8 b)). b) Déduire de a ) un exemple d'une suite exacte non scindée dont les termes sont des A-modules à droite non plats, telle que pour t o u t A-module a gauche F, la suite O -t 13' @ F + E @ F -t E" 63 F -t O soit exacte (utiliser le lemme 2 du no 1).

P) Tout idéal à droite de A est un A-module injectif. y) Tout A-module à droite est projectif. 8) Tout A-module à droite est injectif. 20) Soient A un anneau intègre, B une A-algèbre qui est un A-module plat, M un A-module sans torsion. Montrer que, si t E B n'est pas diviseur de zéro, la relation t . z = O pour un z E B @a M entraîne z = 0. ) 21) Soient S un anneau commutatif, R une S-algèbre ccunmutative, B une S-algèbre (commutative ou non), B(,, la R-algèbre obtenue à partir de B par extension des scalaires.

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Algebre commutative : Chapitres 1 a 4 by Nicolas Bourbaki


by Richard
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